Cours Topologie, Fonctions holomorphes et Calcul différentiel/ Hakim & El Mousaoui

Plan du cours

   I. Topologie et l'analyse fonctionnelle 

   ·  Chap. 1. Espace topologique

     · Propriétés de voisinage

     · Régularité et normalité d’une topologie

     · Topologie séquentielle
     ·    Espaces métriques  ici

  ·   Chap. 2. Espaces compacts

                 ·      Normalité des espaces compacts

                 ·      Compacité et continuité

                 ·     Espace métrique compact

                 ·  Équivalence entre propriété de Borel-Lebesgue et propriété de Bolzano

  ·    Chap. 3.  Espace métrique complet

                  ·    Suites de Cauchy- Suites de Cauchy et valeurs d'adherences

                  ·    Oscillation d'une fonction en un point relative à une partie;
                      Caractérisation d'une suite de Cauchy par une fonction
                      d'oscillation; Définition d'un complet

                  ·     Propriété de Cantor; Propriétés d'un espace métrique complet

                  ·    Définition d'un espace de Baire; Théorème de Baire
                  ·  Applications du théorème de Baire : Théorème de Banach
                     Steinhaus; Théorème de l'application ouverte; Théorème  
                           de  Banach.
                  ·    Théorème de graphe fermé; Théorème de point fixe de Banach

                    Théorème de prolongement par densité des applications 
                             uniformément continues.

                  ·  Théorème de prolongement par densité des applications 
                                   uniformément continues
 · Chap. 4. Les connexes

                    · Définition et Propriétés

                    · Partie connexe d'un espace topologique

                    · Les connexes de la droite réelle

                    · Lemme de passage de douane

                    · Les résultats de stabilité des connexes

                    · L'image d'un connexe par une fonction continue

                    · Les connexes par arc

                    · Espace métrique et connexité

                    · Condition nécessaire : être bien enchainé.

                    · Une condition nécessaire et suffisante en présence de
                                       compacité

                    · Théorème des valeurs intermédiaires

                    · Théorème de Brouer

                    ·  Les composantes connexes

                    ·  Quelques applications.  

· Chap. 5. Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

             · Définitions, généralités et exemples 

                   ·  Espaces des suites, Espaces de Lebesgue

                   · Espace des fonctions continues sur un compacte et à valeurs 

                                   dans un Banach.

                   ·  Espace des fonctions continues à support compact.

                   · Lemme de Riesz

                   · Théorème de Riesz.

                   · Les séries dans les espaces de Banach

                   · L'espace des applications linéaires continues

                   · Les formes bilinéaires continues

                   · Le supplémentaire topologique d'un sous espace vectoriel

                   · Les projecteurs 

              · La topologie quotient des espaces de Banach.

· Chap. 6.Topologie des espaces des fonctions continues

             · Semis-normes et exemples

                · Topologie métrisable définie par une famille dénombrable 

                          séparante de semis-normes

                · Espaces de Fréchet

                · Topologie des espaces des fonctions continues sur un ouvert 

                · Topologie associée au compacts d'un ouvert

                · Théorème d'Ascoli et ses variantes

                · Séparabilité de l'espace des fonctions continues sur un 

                               compact.

                · Critère de compacité des parties des espaces de Lebesgue

     II.  Les variables complexes
       · Chap. 1. Les fonctions holomorphes  
                     · Approche de Cauchy

                       · Définition- identification de R^2 et l'ensemble des 

                    complexes C- applications  R-linéaire et C-linéaire-

             · Les conditions de Cauchy-Rieman-L'opérateur de Cauchy 

             · Propriétés des fonctions holomorphes; les fonctions

                    exponentielles, Argument et logarithmes complexes

             · Détermination principale du  logarithme

             · Les séries entières 

                       · Expression du  laplacien en variable complexe    

    · Chap. 2.  La théorie de Cauchy                 

                   · Définition d'un chemin complexe et propriétés ; intégrale  de 

                                 Cauchy sur un chemin et un système de chemin

                      · Indice d'un point par rapport à un chemin; les propriétés de la

                                   fonction indice

                      · Conditions d'existence d'une primitive d'une  

                                  fonction holomorphe

                      · Le Lemme de Goursat

                      · Théorème de Cauchy; Formule de Cauchy; équivalence entre 

                          holomorphe et analytique.

  · Chap. 3. Les propriétés des fonctions holomorphes  
             · Les inégalités de Cauchy

                      · Théorème de Liouville

                      · Théorème de D'Alembert

                      · Les propriétés des zéros des fonctions holomorphes : Le 

                            principe des Zéro isolés, pas de point d'accumulation

                      · Théorème de factorisation

                      · Principe d'identité

                      · Propriété de la moyenne 

                      · Principe du maximum local 

                      · Principe du maximum global

                      · Théorème de l’application ouverte

                      · Lemme de Schwarz

                      · Théorème de convergence de Weirstrass   

                      · Holomorphie des intégrales à paramètre

                      · Théorème de Montel 

    · Chap. 4. Séries de Laurent et Résidus 

           ·  Classification des singularités d'une fonction holomorphe

           ·  Théorème de Rieman

           ·   Théorème de Casorrati 

           ·  Chemins homotopes

           ·  Formule de Cauchy pour des chemins homotopes

           · Développement en série de Laurent

           · Caractérisation des singularités à partir du développement de  

            Laurent

           · Formules de calcul des résidus
           · Calcul des intégrales par la formule des résidus

     

IIII. Distributions

        · Chap.1. Généralité et propriétés des distributions

·       Etude topologique de quelques espaces fondamentaux.

·       Topologie def par une famille de semi norme.

·       Propriétés topol. d’espace des fonctions indéfiniment      dérivables et a support compact

·       L’espace de distributions

·       Caractérisation des distributions

·       Distributions régulières et non régulières

·       Operations sur les distributions :

·       Multiplication par une fonction infiniment dérivable.

·       Dérivation des distributions

·       Support d’une distribution

·       Distributions à support compact (Lemme d’Urysohn et partition de l’unité).

·       Produit tensoriel des distributions

·       Produit de convolution des distributions dont au moins une à support compact.

·       Régularisation de distributions

       ·Chap.2. Distributions tempérées et transformation de Fourier
                     ·       La transformation de Fourier des fonctions intégrables

·       Propriétés de la transformation de Fourier

·       Théorie de Riemann Lebegue

·       L’espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance rapide.

·       Distributions tempérées

·       Propriétés de la transformé de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à croissance rapide.

·       Egalité de Parseval

·       Transformé de Fourier des distributions tempérées.

·       Transformé de Fourier des distributions tempérées à support compact.

·       Transformé de Fourier des fonctions à carrés sommable.

·       Distributions périodiques : Peigne de Dirac 

       ·Chap.3. Distributions périodiques et résolution des équations de convolutions
                     ·       Distribution pour l’étude des EDP.

·       Les opérateurs différentiels et leurs solutions fondamentales

·       Les solutions élémentaires et transformé de Fourrier

·       Equation de convolution  

       ·Chap.4. Espaces de Sobolev en 1D et problèmes variationnels

                    ·     Définitions

                    ·       Propriétés : Hilbert, inégalité de Poincaré

                    ·      Caractérisation des espaces de Sobolev en 1D par des

                                fonctions  continues.

                    ·    Résolution des problèmes Variationnels de type Dirichlet, 

                                     Neumann, Robin.

 IV.    Calcul différentiel
         ·Chap.1. Définition et propriétés élémentaire de différentielles

·       Les différentielles d’ordre supérieurs

·       Applications multilinéaires.

·       Différentielle d’ordre 2 et le lien avec les dérivées partielles

·       Théorème des accroissements finis

·       Les formules de Taylor

         ·Chap.2. Etude local des fonctions vectorielles

·       Théorème d’inversion locale

·        Propriétés des perturbations de l'identité par des fonctions lipschitziennes

·       Cas de dimension fini

·       Théorème des fonctions implicites

·       Quelques applications du théorème des fonctions implicites

      ·Chap.3. Les extremas libres et liés

1.    Extremas libres

·       Définitions et vocabulaires

·        Préliminaires sur les formes bilinéaires continues coércives

·       Les conditions nécessaires d’existences des extremas.

·       Caractérisation des fonctions convexes par ses différentielles d’ordre 1 et 2

·       Conditions suffisantes de l’existence des extremas

2.    Extremas liés

·       Théorème des multiplicateurs de Lagrange

·       Cas de dimension fini

·       Exemples 

     ·Chap.4. Équations différentielles

·       Vocabulaires et définitions

·       Théorème de Cauchy-Lipschitz

·       Résultats relatif au temps d’existence de solution locale

·       Théorème de croisement de trajectoires

·       Existence de solution maximale

·       Théorie de bouts

·       Lien entre solution maximale et solution globale

·       Lemme de Gronwall et ses conséquences sur les solutions maximales 

 V.     Les séries des exercices

·    Vous trouvez la première série des exercices ici

 VI.    Documents

·       Daniel Li Cours d’analyse fonctionnelle

·        Jean Pierre Marco,  Mathématiques Analyse L3 Cours complet avec 600 tests et exercices corrigés.

·       Rudin, Analyse réelle et complexe.

·       Haim Brezis, Analyse fonctionnelle.