Plan du cours
I. Topologie et l'analyse fonctionnelle
· Chap. 1. Espace topologique
· Propriétés de voisinage
· Régularité et normalité d’une topologie
· Chap. 2. Espaces compacts
· Normalité des espaces compacts
· Compacité et continuité
· Espace métrique compact
· Équivalence entre propriété de
Borel-Lebesgue et propriété de Bolzano
· Chap. 3. Espace métrique complet
· Suites de Cauchy- Suites de Cauchy et valeurs d'adherences
· Oscillation d'une fonction en un point relative à une partie;
Caractérisation d'une suite de Cauchy par une fonction
d'oscillation; Définition d'un complet
Caractérisation d'une suite de Cauchy par une fonction
d'oscillation; Définition d'un complet
· Propriété de Cantor; Propriétés d'un
espace métrique complet
· Définition d'un espace de Baire; Théorème de Baire
· Applications du théorème de Baire : Théorème de Banach
Steinhaus; Théorème de l'application ouverte; Théorème
de Banach.
· Théorème de graphe fermé; Théorème de point fixe de Banach
· Applications du théorème de Baire : Théorème de Banach
Steinhaus; Théorème de l'application ouverte; Théorème
de Banach.
· Théorème de graphe fermé; Théorème de point fixe de Banach
Théorème de
prolongement par densité des applications
uniformément continues.
uniformément continues.
· Théorème de prolongement par densité des applications
uniformément continues
· Chap. 4. Les connexes
uniformément continues
· Chap. 4. Les connexes
· Définition
et Propriétés
· Partie
connexe d'un espace topologique
· Les
connexes de la droite réelle
· Lemme
de passage de douane
· Les
résultats de stabilité des connexes
· L'image
d'un connexe par une fonction continue
· Les
connexes par arc
· Espace
métrique et connexité
· Condition
nécessaire : être bien enchainé.
· Une
condition nécessaire et suffisante en présence de
compacité
compacité
· Théorème
des valeurs intermédiaires
· Théorème
de Brouer
· Les
composantes connexes
· Quelques
applications.
· Chap. 5. Espaces vectoriels
normés et espaces de Banach
· Définitions,
généralités et exemples
· Espaces des suites, Espaces de Lebesgue
· Espace des fonctions continues sur un compacte
et à valeurs
dans un Banach.
· Espace des fonctions continues à support
compact.
· Lemme de Riesz
· Théorème de Riesz.
· Les séries dans les espaces de Banach
· L'espace des applications linéaires continues
· Les formes bilinéaires continues
· Le supplémentaire topologique d'un sous espace vectoriel
· Les
projecteurs
· La topologie quotient des espaces de Banach.
· Chap. 6.Topologie des
espaces des fonctions continues
· Semis-normes et exemples
· Topologie métrisable définie par une
famille dénombrable
séparante de semis-normes
· Espaces de Fréchet
· Topologie des espaces des fonctions
continues sur un ouvert
· Topologie associée au compacts d'un ouvert
· Théorème d'Ascoli et ses variantes
· Séparabilité de l'espace des fonctions
continues sur un
compact.
· Critère de compacité des parties des
espaces de Lebesgue
II. Les variables complexes
· Chap. 1. Les fonctions holomorphes
· Approche de Cauchy
· Expression
du laplacien en variable complexe
· Chap. 1. Les fonctions holomorphes
· Approche de Cauchy
· Définition-
identification de R^2 et l'ensemble des
complexes C- applications R-linéaire et
C-linéaire-
· Les
conditions de Cauchy-Rieman-L'opérateur de Cauchy
· Propriétés
des fonctions holomorphes; les fonctions
exponentielles, Argument et logarithmes complexes
· Détermination
principale du logarithme
· Les
séries entières
· Chap. 2. La
théorie de Cauchy
· Les inégalités de Cauchy
· Définition d'un chemin complexe et propriétés ; intégrale
de
· Chap. 3. Les
propriétés des fonctions holomorphes
Cauchy sur un chemin et un système de
chemin
· Indice d'un point par rapport à un chemin; les
propriétés de la
fonction indice
· Conditions d'existence d'une primitive
d'une
fonction holomorphe
· Le Lemme de Goursat
· Théorème de Cauchy; Formule de Cauchy; équivalence entre
holomorphe et analytique.
· Les inégalités de Cauchy
· Théorème de Liouville
· Théorème de D'Alembert
· Les
propriétés des zéros des fonctions holomorphes : Le
principe des Zéro isolés, pas de point d'accumulation
· Théorème
de factorisation
· Principe
d'identité
· Propriété
de la moyenne
· Principe
du maximum local
· Principe
du maximum global
· Théorème
de l’application ouverte
· Lemme
de Schwarz
· Théorème
de convergence de Weirstrass
· Holomorphie des intégrales à paramètre
· Théorème
de Montel
· Chap. 4. Séries de Laurent et Résidus
· Classification des singularités d'une fonction holomorphe
· Théorème de Rieman
· Théorème de
Casorrati
· Chemins homotopes
· Formule de Cauchy
pour des chemins homotopes
· Développement en
série de Laurent
· Caractérisation des
singularités à partir du développement de
Laurent
· Formules de calcul
des résidus
· Calcul des intégrales par la formule des résidus
· Calcul des intégrales par la formule des résidus
IIII. Distributions
·Chap.1. Définition et propriétés élémentaire de différentielles
· Chap.1.
Généralité et propriétés des distributions
·
Etude topologique de quelques espaces fondamentaux.
·
Topologie def par une famille de semi norme.
·
Propriétés topol. d’espace des fonctions indéfiniment dérivables et a support compact
·
L’espace de distributions
·
Caractérisation des distributions
·
Distributions régulières et non régulières
·
Operations sur les distributions :
·
Multiplication par une fonction infiniment dérivable.
·
Dérivation des distributions
·
Support d’une distribution
·
Distributions à support compact (Lemme d’Urysohn et partition de l’unité).
·
Produit tensoriel des distributions
·
Produit de convolution des distributions dont au moins une à support
compact.
·
Régularisation de distributions
·Chap.2.
Distributions tempérées et transformation de Fourier
· La transformation de Fourier des fonctions intégrables
· Distribution pour l’étude des EDP.
IV.
Calcul différentiel· La transformation de Fourier des fonctions intégrables
· Propriétés de la transformation de Fourier
· Théorie de Riemann Lebegue
· L’espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance rapide.
· Distributions tempérées
· Propriétés de la transformé de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à croissance rapide.
· Egalité de Parseval
· Transformé de Fourier des distributions tempérées.
· Transformé de Fourier des distributions tempérées à support compact.
· Transformé de Fourier des fonctions à carrés sommable.
· Distributions périodiques : Peigne de Dirac
·Chap.3. Distributions périodiques et résolution des équations de convolutions· Distribution pour l’étude des EDP.
· Les opérateurs différentiels et leurs solutions fondamentales
· Les solutions élémentaires et transformé de Fourrier
· Equation de convolution
·Chap.4. Espaces de Sobolev en 1D et problèmes variationnels
· Définitions
· Propriétés : Hilbert, inégalité de Poincaré
· Caractérisation des espaces de Sobolev en 1D par des
fonctions continues.
· Résolution des problèmes Variationnels de type Dirichlet,
Neumann, Robin.
·Chap.1. Définition et propriétés élémentaire de différentielles
·
Les différentielles d’ordre supérieurs
·
Applications multilinéaires.
·
Différentielle d’ordre 2 et le lien avec les dérivées partielles
·
Théorème des accroissements finis
·
Les formules de Taylor
·Chap.2. Etude local des fonctions vectorielles
·
Théorème d’inversion locale
·
Propriétés des perturbations de l'identité par des fonctions lipschitziennes
·
Cas de dimension fini
·
Théorème des fonctions implicites
·
Quelques applications du théorème des fonctions implicites
·Chap.3. Les extremas libres et liés
1.
Extremas libres
·
Définitions et vocabulaires
·
Préliminaires sur les formes bilinéaires
continues coércives
·
Les conditions nécessaires d’existences des extremas.
·
Caractérisation des fonctions convexes par ses différentielles d’ordre 1
et 2
·
Conditions suffisantes de l’existence des extremas
2.
Extremas liés
·
Théorème des multiplicateurs de Lagrange
·
Cas de dimension fini
·
Exemples
·Chap.4. Équations différentielles
·
Vocabulaires et définitions
·
Théorème de Cauchy-Lipschitz
·
Résultats relatif au temps d’existence de solution locale
·
Théorème de croisement de trajectoires
·
Existence de solution maximale
·
Théorie de bouts
·
Lien entre solution maximale et solution globale
·
Lemme de Gronwall et ses conséquences sur les solutions maximales
V.
Les séries des exercices
· Vous trouvez la première série des
exercices ici
VI.
Documents
· Daniel Li Cours d’analyse fonctionnelle
· Jean Pierre Marco, Mathématiques Analyse L3 Cours complet avec 600
tests et exercices corrigés.
· Rudin, Analyse réelle et complexe.
· Haim Brezis, Analyse fonctionnelle.